Temat

Statyka – środki ciężkości






































Środki ciężkości
Przykład 1
Wyznaczyć położenie środka ciężkości figury płaskiej przedstawionej na rysunku.



R o z w i ą z a n i e.
Obliczenia współrzędnych środka ciężkości rozpatrywanej figury płaskiej przeprowadza się przy zastosowaniu metody dzielenia. Pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości poszczególnych elementów składowych tej figury płaskiej są równe


Stąd



Przykład 2
Znaleźć położenie środka ciężkości figury płaskiej pokazanej na rysunku.



R o z w i ą z a n i e.
Współrzędne środka ciężkości rozpatrywanej figury płaskiej wyznacza się przy zastosowaniu metody mas ujemnych. Pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości prostokąta 2r r, połowy koła o promieniu r i koła o promieniu r/4 wynoszą


Stąd



Przykład 3
Wyznaczyć współrzędne środka ciężkości powierzchni wycinka koła o promieniu R i kącie środkowym 2.



R o z w i ą z a n i e.
Ponieważ rozpatrywana figura płaska ma oś symetrii, środek ciężkości będzie leżał na tej osi. Przyjmując oś symetrii jako oś Ox wystarczy określić współrzędną xC środka ciężkości. Rozpatrzymy powierzchnię elementarną o kącie środkowym d


i współrzędnej środka ciężkości tej powierzchni


Moment statyczny wycinka koła względem osi y będzie równy


Pole powierzchni tego wycinka wynosi


Stąd współrzędna xC wynosi




Przykład 4
Wyznaczyć położenie środka ciężkości figury płaskiej ograniczonej parabolą y = kx2 oraz prostymi x = b, y = 0.



R o z w i ą z a n i e.
W celu obliczenia momentów statycznych rozważymy powierzchnię elementarną o szerokości dx i wysokości y



Momenty statyczne figury płaskiej wynoszą



Pole powierzchni figury płaskiej jest równe



Współrzędne środka ciężkości wynoszą



Jeżeli uwzględnimy, że dla x = b, y = h = kb2, to ostatecznie otrzymamy




Przykład 5
Znaleźć położenie środka ciężkości jednorodnego stożka kołowego o wysokości H i promieniu podstawy R.



R o z w i ą z a n i e.
Środek ciężkości stożka leży na osi symetrii, która pokrywa się z jego wysokością. Stąd xC = yC = 0, a więc wystarczy obliczyć jedną współrzędną zC. Przyjmujemy elementarną objętość w postaci krążka o grubości dz i promieniu podstawy r, oddaloną od podstawy stożka o odległość z



Promień podstawy krążka obliczamy z podobieństwa odpowiednich trójkątów



Stąd


Współrzędną środka ciężkości zC wyznaczamy metodą analityczną




Przykład 6
Znaleźć położenie środka ciężkości bryły złożonej z połowy walca o wysokości h i promieniu podstawy r oraz prostopadłościanu o wymiarach r × 0,5r × h.



R o z w i ą z a n i e.
Objętości i współrzędne środków ciężkości połowy walca i prostopadłościanu wynoszą



Współrzędne środka ciężkości bryły oblicz się przy zastosowaniu metody dzielenia




Przykład 7
Wyznaczyć położenie środka ciężkości powierzchni pokazanej na rysunku. Dane: r = 4 cm, R = 8 cm, h = 10 cm.



R o z w i ą z a n i e.
Obliczenia współrzędnych środka ciężkości rozpatrywanej powierzchni przeprowadzamy przy zastosowaniu metody mas ujemnych. Pola powierzchni i współrzędne środków ciężkości poszczególnych elementów składowych powierzchni (połowa koła o promieniu R, koła o promieniu r, prostokąta R × 2R, trójkąta prostokątnego o podstawie 2R i wysokości h) wynoszą



Stąd współrzędne środka ciężkości powierzchni przedstawionej na rysunku są równe




Przykład 8
Znaleźć położenie środka ciężkości płaskiej linii łamanej, pokazanej na rysunku.



Rozwiązanie.
Długości i współrzędne środków ciężkości poszczególnych składowych rozpatrywanej linii łamanej ABCDE są równe



Zatem współrzędne środka ciężkości linii łamanej wynoszą